【sin105】在三角函数中，sin105°是一个常见的角度值。它不属于标准的特殊角（如30°、45°、60°等），但可以通过三角恒等变换将其转换为已知角度的组合来计算。本文将对sin105°进行总结，并通过表格形式展示其相关数值和计算方法。
一、基本概念
正弦函数（sin）是三角函数之一，表示直角三角形中某一个锐角的对边与斜边的比值。对于任意角度θ，sinθ = 对边 / 斜边。
当角度超过90°时，例如105°，它位于第二象限，此时sinθ的值仍为正值，因为第二象限的正弦值为正。
二、sin105°的计算方法
由于105°不是标准角，可以利用三角函数的加法公式进行计算：
$$
\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ)
$$
根据正弦的加法公式：
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
代入A = 60°，B = 45°：
$$
\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ)
$$
已知：
- $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
- $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
代入计算：
$$
\sin(105^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
因此，$\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
三、数值近似值
使用计算器或数学软件可得到sin105°的近似值：
$$
\sin(105^\circ) \approx 0.9659
$$
四、表格总结
| 角度 | 正弦值表达式 | 数值近似值 |
| 105° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | ≈ 0.9659 |
五、总结
sin105°虽然是一个非标准角度，但可以通过三角恒等变换转化为已知角度的组合进行计算。其精确值为$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，而近似值约为0.9659。在实际应用中，这一数值可用于工程、物理及数学计算中，特别是在涉及角度转换和三角函数求解的问题中。
