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求二次函数的顶点坐标的公式?

2025-07-08 01:41:58

问题描述:

求二次函数的顶点坐标的公式?,急!求解答,求别忽视我的问题!

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2025-07-08 01:41:58

求二次函数的顶点坐标的公式?】在数学中,二次函数是一个非常常见的函数类型,其标准形式为 $ y = ax^2 + bx + c $,其中 $ a \neq 0 $。二次函数的图像是一个抛物线,而抛物线的“最高点”或“最低点”称为顶点。顶点是研究二次函数性质的重要部分,了解顶点坐标有助于分析函数的最大值、最小值以及对称轴等信息。

要快速求出二次函数的顶点坐标,可以通过公式直接计算得出,而无需通过复杂的配方法或图像法。以下是对该公式的总结与说明。

一、顶点坐标的公式

对于一般的二次函数:

$$

y = ax^2 + bx + c

$$

其顶点坐标为:

$$

\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)

$$

其中:

- 横坐标:$ x = -\frac{b}{2a} $

- 纵坐标:$ y = \frac{4ac - b^2}{4a} $

这个公式来源于将二次函数配方后的结果,也可以通过导数法求极值来推导。

二、公式详解

公式名称 表达式 说明
顶点横坐标 $ x = -\frac{b}{2a} $ 该值表示抛物线的对称轴位置,也是顶点的横坐标
顶点纵坐标 $ y = \frac{4ac - b^2}{4a} $ 该值表示顶点的纵坐标,即函数在顶点处的值

三、使用示例

假设有一个二次函数:

$$

y = 2x^2 - 4x + 1

$$

根据公式计算顶点坐标:

- $ a = 2 $, $ b = -4 $, $ c = 1 $

顶点横坐标:

$$

x = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1

$$

顶点纵坐标:

$$

y = \frac{4 \times 2 \times 1 - (-4)^2}{4 \times 2} = \frac{8 - 16}{8} = \frac{-8}{8} = -1

$$

所以顶点坐标为 $ (1, -1) $。

四、总结

求二次函数的顶点坐标,可以通过上述公式快速得到。掌握这一公式不仅有助于解题,还能加深对二次函数图像和性质的理解。无论是在数学学习还是实际应用中,顶点坐标的计算都是一个基础但重要的技能。

表格总结:

项目 内容
二次函数一般形式 $ y = ax^2 + bx + c $
顶点横坐标公式 $ x = -\frac{b}{2a} $
顶点纵坐标公式 $ y = \frac{4ac - b^2}{4a} $
顶点坐标 $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $
示例函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $
示例顶点坐标 $ (1, -1) $

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