sinx 的 n 次方在 0 到二分之 π 区间上的定积分，有一套非常经典的递推归纳公式，也常叫做华莱士公式，这个公式核心思路就是分部积分，把高阶幂次的 sinx 的 n 次方积分，一步步降阶成低阶积分，反复套用递推关系，最后落到 n 等于 0 或者 n 等于 1 的基础积分值，不需要每次都从头做复杂积分运算，这套归纳公式专门针对积分区间是 0 到二分之 π 的定积分场景，分 n 为偶数和 n 为奇数两种最终化简结果，是高数考研微积分里面高频考点，它的优势就是把高阶幂积分变成连乘约分计算，大幅减少计算量，理解递推推导过程之后，还可以迁移到 cosx 的 n 次方同区间定积分，二者结果完全一致。

记号定义

记 Iₙ = 积分区间 0 到 π/2 ，(sinx)ⁿ dx

n 为非负整数 n 大于等于 0

递推归纳公式推导步骤

第一步 拆分被积函数

(sinx)ⁿ = (sinx)ⁿ⁻¹・sinx

第二步 分部积分

设 u = (sinx)ⁿ⁻¹ ， dv = sinx dx

du = (n-1)(sinx)ⁿ⁻² cosx dx ， v = -cosx

分部积分公式 uv 上下限 减去 积分 v du

代入上下限 0 到 π/2，第一项 uv 在端点取值等于 0

整理得到

Iₙ = (n-1) ∫ (sinx)ⁿ⁻² cos²x dx

第三步 替换 cos²x = 1 - sin²x

Iₙ = (n-1) Iₙ₋₂ - (n-1) Iₙ

移项合并

n Iₙ = (n-1) Iₙ₋₂

最终得到递推归纳关系式

Iₙ = (n-1)/n・Iₙ₋₂

这就是核心递推归纳公式

基础初值

n 等于 0 的时候 I₀ = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2

n 等于 1 的时候 I₁ = ∫₀^(π/2) sinx dx = 1

最终化简结果表格

使用要点

1 这套归纳公式只适用于积分区间是 0 到二分之 π

2 如果积分区间是 0 到 π，可以利用对称性拆分，0 到 π 等于两倍的 0 到二分之 π

3 如果区间是 0 到 2π，需要分段处理，不能直接套用这套公式

4 n 必须是正整数，n 不是整数的时候不能使用这个连乘归纳公式

计算示例

例 n=4 偶数

I₄ = (3/4)(1/2)π/2 = 3π/16

例 n=5 奇数

I₅ = (4/5)(2/3)1 = 8/15

【常见问题】

问题 1 sinx 的 n 次方的定积分递推归纳公式是怎么得到的

回答 1 sinx 的 n 次方的定积分递推归纳公式是通过分部积分法，结合 cos 平方等于 1 减 sin 平方恒等式，移项整理得到 Iₙ等于 (n-1)/n 乘以 Iₙ₋₂，这就是 sinx 的 n 次方定积分核心归纳关系。

问题 2 sinx 的 n 次方的定积分归纳公式 n 为奇数和偶数结果差别在哪里

回答 2 sinx 的 n 次方的定积分归纳公式，n 是偶数最后会带上 π/2 因子，n 是奇数最后结果是纯有理数不带 π，这是 sinx 的 n 次方定积分归纳公式最明显区分点。

问题 3 sinx 的 n 次方的定积分归纳公式可以直接用在 0 到 π 区间吗

回答 3 sinx 的 n 次方的定积分归纳公式原生区间是 0 到二分之 π，0 到 π 区间利用对称性可以拆成两段，两倍的 0 到二分之 π 积分之后再套用 sinx 的 n 次方定积分归纳公式。

问题 4 sinx 的 n 次方的定积分归纳公式对非整数 n 有效吗

回答 4 sinx 的 n 次方的定积分归纳公式只针对整数 n，非整数幂次不能使用这套连乘归纳公式，非整数情况需要借助伽马函数计算 sinx 的 n 次方定积分。

【免责申明】

本文是高等数学知识点讲解，推导默认是实函数定积分，适用常规本科高数考试场景，复积分广义积分不在本文讲解范围，计算做题请结合教材，本文不替代专业教师授课。